Период охлаждения 14 дней: подала заявление на 12-й день, а банк говорит поздно

Ольга, такое бывает, когда заявку заводят накануне и система ставит дату формирования документа. По общему правилу 14 дней считают со дня заключения договора страхования. Если вы реально подписывали 3-го, ищите любое подтверждение: смс с кодом подписи, выписку с датой выдачи кредита, отметку в графике платежей.
И заявление пишите не банку, а именно в страховую, банк тут обычно только агент. Копию с отметкой о приёме оставьте себе.

Добавлю: даже если по датам выходит впритык, заявление всё равно подавайте письменно, пусть откажут письменно. С мотивированным отказом уже можно идти дальше, сначала претензия в страховую, потом к финансовому уполномоченному. Без бумажного отказа разговор ни о чём.
Но это я про порядок, а не про результат, там всё упрётся в дату подписания.

Вернулась с итогом. Нашла смс от банка с кодом подтверждения от 3 мая в 17:42, распечатала, приложила к заявлению и отправила в страховую почтой с описью. Через три недели пришло письмо, что договор расторгнут, деньги вернули на счёт полностью, 38 200. Про дату 2 мая в письме ни слова, как будто вопроса и не было.